Würfelstumpf ; Mein Logo

Horst Steibl TU Braunschweig

Wenn Sie mehr sachliche Informationen haben wollen:
  • Horst Steibl: Geometrie aus dem Zettelkasten, div Verlag, Franzbecker, Bad Salzdetfurt 1997
    (handlungsorientierte Zugänge, Grundschule und Sek I)
  • Horst Steibl: Warum ist das Quadrat so krumm? div Verlag, Franzbecker, Hildesheim Berlin 1998
    (fachliche Zugänge)
  • Horst Steibl: "Euklid" und das krumme Quadrat. Verlag Franzbecker, Hildesheim 2000.
    (Anwendungen mit DynaGeo Euklid)

    • Erzeugung von archimedischen Körpern aus Tetraeder, Würfel, Oktaeder durch Kappen der Ecken und Kanten

    Meine e-mail-Adresse:
    h.steibl@tu-bs.de
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    Inhalt

    1. Die gekappten Würfel-Ecken
      2. Klicken Sie hier!
    2. Die gekappten Oktaeder-Ecken........Vorsicht! Baustelle........
    3. Die abgeschrägten Würfelkanten
    4. Die abgeschrägten Oktaederkanten
    5. Kappen der Würfelecken über den Stumpf hinaus
    6. Kappen der Oktaederecken über den Stumpf hinaus
    7. Kappen der Tetraeder-Ecken
    8. Kappen der Tetraeder-Kanten
    9. Archimedische Körper
    10. Dualität: Würfelstumpf - Rautendodekaeder
    11. Vom Oktokub über das Ikosaeder zum Oktaeder
    12. Euklid und der Fußball
    13. Der Oktokubus

      Zur Erinnerung: Falls Sie größere Schrift wünschen (oder kleinere, falls dis Seite nicht auf den Schirm passt) - Ansicht - Schriftgrad - größer (bzw. kleiner)
    Die gekappten Würfel-Ecken

     
    Würfelstumpf
    NAME f......... e......... k.........
    Tetraeder 4 4 6
    Hexaeder 6 8 12
    Okteader 8 6 12
    Dodekaeder 12 20 30
    Ikosaeder 20 12 30
    		Wir kappen die Würfelecken durch zu den Raumdiagonalen lotrechte Schnitte. Falls Sie das Programm "Dynageo2.3.c" besitzen (und mit Internet Explorer arbeiten; funktioniert nicht mit Netscape), können Sie die beweglichen Figuren unten (jeweils auf der dem Text folgenden Seite ) bewegen. Dazu müssen Sie jedoch den DynaGeoX-Viewer installieren. Anleitung dazu finden Sie auf der Seite http://www.dynageo.de. Hier können Sie auch eine Shareware-Version von Dynageo2.3.c laden und 8 Wochen lang ausprobieren. Mit einem einfachen Modem dauert das Ladern etwa 4 min.
    Falls Sie den DynaGeoX-Viewer nicht laden wollen, können Sie die Datei aber auch jeweils mit Zeigen als einfache geo-Datei laden, diese als Wuerfelstumpf1.geo in einem geeigneten Ordner speichern. .(Datei auf Datenträger speichern.) Wenn Sie nun "Öffnen" anklicken, so erhalten Sie einen leeren Bildschirm und angeblich eine Datei "KEINNAME.GEO". Wenn Sie aber "Dynageo" von außen über die Start-Schaltfläche laden und die gespeicherte Datei neu laden, bekommen Sie das gewünschte Bild, das Sie nun verändern können. Ziehen Sie am Zugpunkt.

    In meinem Buch "Euklid und das krumme Quadrat" habe ich die Konstruktion dieser Figur beschrieben. Sie funktioniert unten zunächst nur bis zu dem Grenzfall "Würfelstumpf". Manche Leute nennen ihn auch Kuboktaeder.. Wir erhalten ihn nämlich auch durch das Abschneiden der Oktaederecken. Welcher andere Sonderfall zwischen Würfel und Kuboktaeder ist wohl noch bemerkenswert? Was für n-ecke entstehen, wenn Sie über den Würfelstumpf hinaus kommen? Aus den Würfelflächen werden ja zunächst Achtecke, dann bekommen Sie ein Quadrat und dann? Was geschieht entsprechend mit den Dreiecken? Wir werden diese Fragen weiter unten noch einmal ansprechen.
    Betrachten Sie auch den Grenzfall zweier sich durchdringender Tetraeder. Es fehlen zwar etliche Linien. Sehen Sie das Oktaeder, die aufgesetzten Paramiden des Sterns?
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    Würfelstumpf

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    Die gekappten Oktaeder-Ecken

    Die abgeschnittenen Oktaederecken Nun schneiden wir dem Oktaeder die Ecken ab. Vergleichen Sie das Abschneiden der Ecken beim Würfel und Oktaeder. Welche Flächen entstehen jeweils? Welche Zwischenwerte sind bemerkenswert? Der Stumpf (Kuboktaeder) kann dann auch auch als Schnittfigur eines Würfels mit einem geeigneten Oktaeder gesehen werden. Wie durchdringen sich dann diese beiden Körper? Zeichnen Sie dies doch einmal!
    Schwieriger wird es folgendermaßen: Würfel, Mitten der Flächen, nun das Oktaeder aus dem Mittelpunkt des Würfels streckbar konstruieren. Eine Zwischenlage ist besonders interessant: Oktaeder und Würfel als Hülle eines einbeschriebenen Ikosaeders!

    Klicken Sie auf _ Zeigen _. und laden Sie OktaederEckenAb.geo

      Oben haben wir eine Tabelle über e, f und k der Euleschen Polyeder gezeigt.
    Es gilt der Eulersatz:
    e + f = k + 2
    Wie sieht die Tabelle für den gekappten Würfel und für dieses gekappte Oktaeder aus? (f(3) steht für "Anzahl der Dreiecke" )
    Würfel Ecken ab f(3)=... f(4)=... f =... e =... k =...
    Oktaeder Ecken ab f(4)=... f(6)=... f = .,.. e = ... k = ...

    In der folgenden Zeichnung sollen Sie nur bis zum Kuboktaeder ziehen. Über das Oktaeder hinaus betrachten wir die Figur dann noch später.

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    OktaederSpitzenAb
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    Die abgeschrägten Würfelkanten


     
    Die abgeschnittenen Würfelkanten Wir schneiden dem Würfel die Kanten ab. Welcher Körper entsteht hier? Das sieht man zunächst nur sehr schwer. Aber dieser Zwischenkörper mit den regelmäßigen n-ecken ist doch vorstellbar. Schließlich werden die Quadraten Punkte und die Sechsecke ........Wie viele Flächen bleiben dann noch übrig? Das sind doch so viele, wie der Würfel ......hat. Anzahl der Kanten, der Ecken? Vergleichen Sie die Anzahlen e, f und k mit den entsprechenden Anzahlen des Würfelstumpfs!
     

    Klicken Sie auf _ Zeigen _. und laden Sie WuerfelKantenAb.geo Ziehen Sie bis zur "Endfigur (bis die Quadrate zum Punkt werden)!!

      Was für Vierecke entstehen? Wie lang sind die Diagonalen? Machen Sie sich die verschiedene Wertigkeiten der Ecken der Endfigur bewußt! Wo liegen die dreiwertigen bzgl. des Ausgangswürfels? Wo die vierwertigen?

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    WürfelKantenAbx

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    Die abgeschrägten Oktaederkanten


     
    Die abgeschnittenen Oktaederkanten Was geschieht, wenn Sie dem Oktaeder die Kanten abschneiden? Betrachten Sie wieder die unterschiedlichen Flächen! Welche Sonderfälle? Der Würfel und das Oktaeder haben je 12 Kanten. Wenn wir diese kappen, so erhalten wir schließlich einen Körper aus 12 Rauten mit den Diagonalen der Länge k und k* Ö 2.. Die "Endfigur" heißt daher Rautendodekaeder und ist dual zu sehen zu dem Würfelstumpf.
      Erstellen Sie diese Tabellen:
    Würfel Kanten ab f(4)=... f(6)=... f =... e =... k =...
    Oktaeder Kanten ab f(3)=... f(6)=... f = .,.. e = ... k = ...

     
    Kuboktaeder f(3)=... f(4)=... f =... e =... k =...
    Rautendodekaeder e(3)=... e(4)=... f = .... e = .... k = ....
    e(3) steht für die Anzahl der Ecken von denen 3 Kanten ausgehen

    Klicken Sie auf _ Zeigen _.und laden Sie OktaederKantenAb.geo
    DynaGeoX-Viewer: Ziehen Sie unten am Zugpunkt, bis die Flächen Vierecke sind. Der Körper ist etwas schwierig zu erkennen. Die Vierecke sind Rauten. Zwei Vierecke sind als Strecke zu sehen.Sie liegen in der Ebene der Blickrichtung. Wie viele Flächen sind es also? Deshalb heißt das Polyeder "Rauten........."

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    OktaederKantenAbx

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    Kappen der Würfelecken über den Stumpf hinaus


     
    Vom Stumpf zum Oktaeder Wenn Sie, ausgehend vom Würfel, beim Würfelstumpf (Kuboktaeder) weiter schneiden (EckenAb), so kommen sie zum Oktaeder. Welche Flächen entstehen dazwischen? Welcher Sonderfall ist wieder bemerkenswert?

    Klicken Sie auf _ Zeigen _.und laden Sie VomStumpfZumOktaeder.geo
     
      Was vermuten Sie, geschieht wohl, wenn Sie beim Oktaeder beginnen, zum Stumpf kommen und dann weiter schneiden?

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    VomWuerfelstumpfZumOktaeder

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    Kappen der Oktaederecken über den Stumpf hinaus


     
    Vom Stumpf zum ? Hier ist nun beim Oktaeder über den Stumpf hinaus geschnitten. Welchen Grenzfall erwarten Sie, wenn die Dreiecke zum Punkt schrumpfen? Wie viele Flächen bleiben dann noch übrig? Wie können Sie dies begründen? Was für n-ecke sind dies?

      Klicken Sie auf _ Zeigen _.und laden Sie OktaederEckenAbAb.geo
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    VomWuerfelstumpfZumWuerfel

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    Kappen der TetraederEcken

    Kappen der Tetraeder-Ecken

     
    Die abgeschnittenen Tetraederecken Wenn Sie dem Tetraeder die Ecken abschneiden, sieht der Zusammenhang etwas anders aus. Wie viele Fläche sind dies? Wann entstehen welche regelmäßigen Polygone? Wie lang sind dann diese Kanten? Welcher Grenzfall ist zu erwarten? Wie viele Ecken entstehen dann? Welcher Körper hat so viele Ecken? Beachten Sie: An der nebenstehenden Figur können Sie nicht ziehen!

    Klicken Sie auf _ Zeigen _.und laden Sie TetraederEckenAb.geo
     
     Was geschieht wohl, wenn Sie die Kanten kappen? Begründen Sie dies. Denken Sie an die Dualität. Auch hier ist ein Sonderfall bemerkenswert.


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    TetraederEckenAb
    Was wird daraus, wenn wir über das Oktaeder hinaus kappen?
    weiter

    Kappen der Tetraederecken über das Oktaeder hinaus
    Kappen wir nun die vier Oktaederflächen weiter, die unter den vier Ausgangsecken des Tetraeders liegen, so erhalten wie vier Sechsecke unter den Ecken und vier Dreiecke auf den Ausgangsflächen. Die Sechsecke können regelmäßig werden. Dann haben wir wieder ein halbreguläres Polyeder. Schließlich werden die Sechsecke zu Dreiecken und wir haben wieder ein Tetraeder mit 1/3 der Ausgangsseitenlänge mit den Ecken im Schwerpunkt der Ausgangsdreiecke. Das Volumen muss dann 1/27 des Ausgangstetraeders sein . Kappen wir weiter, so bleibt die Figur ein Tetraeder.

    Hier finden Sie eine kurze PowerpointPräsentation zum Theme Kappen der Tetrederecken
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    Die abgeschnittenen Tetraeder-Kanten Nun schneiden wir dem Tetraeder die Kanten ab. Wie wird hier die "Endfigur" aussehen? Denken Sie an die Form und Anzahl der übrig bleibenden Flächen. Was können Sie daraus schließen?

    Klicken Sie auf _ Zeigen _.und laden Sie TetraederKantenAb.geo

      Welche Punkte liegen bei der Endfigur in den Flächenmitten? Wie viele sind dies? Wie viele fehlen dann noch? Wo liegen diese?

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    TetraederKantenAb

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    Archimedische Körper

    Es gibt fünf platonische Körper: Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Dodekaeder (Zwölfflach), Ikosaeder (Zwanzigflach).
    Diese Körper werden auch als goldene Polyeder bezeichnet.
    Stumpfen wir die Ecken dieser platonischen Körper durch Schnitte senkrecht zur Drehachse gleichmäßig ab, so entstehen an geeigneten Höhen regelmäßige Polygone (Dreiecke, Quadrate, Sechsecke, Achtecke). Alle Ecken sind dabei gleich umgeben. Alle Kanten sind gleich lang. Die so entstandenen Körper gehören zu den archimedischen Körpern. Ähnliche Zusammenhänge ergeben sich beim Entkanten der goldenen Polyeder. Wir haben hier nur Würfel, Oktaeder und Tetraeder gekappt bzw. entkantet. Sie können dies naturlich auch mit dem Dodekaeder und dem Ikosaeder machen. Viel Spaß!
    Wollen Sie die oben erzeugten Archimedischen Körper noch einmal sehen?      
     
    Dabei entsteht (beim Entkanten) u.a: ein Rhombenpolyeder, das Rautendodekaeder. Das ist ein Würfel, dem sechs Pyramiden der Höhe 1/2 k aufgesetzt sind. Das ist kein archimedischer Körper, weil es zwei Klassen von Ecken gibt! Der Würfel und das Oktaeder haben 12 Kanten. Daher muß beim Abkanten ein Zwölfflächner, ein Rautendodekaeder entstehen.
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    Dualität: Würfelstumpf - Rautendodekaeder

    Das Kuboktaeder (der Würfelstumpf) ist ein archimedischer Körper, das Rautendodekaeder nach Definition (s.o.) nicht.
    Die Dualität Rautendodekaeder Würfelstumpf ist folgendermaßen zu verdeutlichen:
    Die 24 Kanten (8 * 3 = 24, bzw. 6 * 4 = 24; wie habe ich gerechnet?) sind bei beiden Körpern jeweils gleich lang. Das Kuboktaeder (der Würfelstumpf) besteht aus zwei Klassen jeweils kongruenter regelmäßiger Polygone. Es hat 6 Quadrate und 8 Dreiecke, also 14 Flächen. Es hat 12 Ecken, die jeweils vierzählig sind. Wir sagen: Alle Ecken sind gleich umgeben.
     Beim Rautendodekaeder gibt es zwei Klassen von Ecken: 6 vierzählige und 8 dreizählige, aber nur eine Klasse von Polygonen, nämlich 12 Rauten (also Vierecke)mit den Diagonalen k und k* Ö 2.

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    Vom Würfelstumpf über das Ikosaeder zum Oktaeder

    NAME f......... e......... k.........
    Tetraeder 4 4 6
    Hexaeder 6 8 12
    Okteader 8 6 12
    Dodekaeder 12 20 30
    Ikosaeder 20 12 30

    Die Tabelle der Eulerschen Polyeder legt mit der Zahl 12 einen Zusammenhang zwischen Würfel und Ikosaeder nahe. Wenn man auf jede Kante des Würfels eine Ecke legt, erhält man aber das Oktokub, den Würfelstumpf.
    Legt man die 12 Ikosaederecken aber geeignet auf die 6 Flächen, so erhält man ein Zwanzigflach. (Je zwei Punkte auf eine Mittellinie, auf benachbarten Flächen windschief zueinander). Die Grenzfälle sind das Oktokub und das Oktaeder. Dies Zwanzigflach hat auf jeden Fall unter den Ecken 8 gleichseitige Dreiecke. Von den Flächenmitten gehen 12 gleichschenkligen Dreiecke ab. Die Frage ist nun, wann diese auch gleichseitig werden. Den Beweis finden Sie im "krummen Quadrat".    .
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    Euklid und der Fußball

    Die abgeschnittenen Ikosaederecken Wenn Sie dem Ikosaeder die Ecken abschneiden wird es etwas unübersichtlich aber sehr anwendungsreal. . Wie viele Ecken schneiden Sie ab? Wie viele Dreiecke liegen um eine Ecke herum? Somit muß ein ??-eck entstehen. Was wird dabei aus den Dreiecken? Wie viele Flächen der zwei Sorten entstehen jeweils? Warum habe ich diese Überschrift gewählt?

    Klicken Sie auf Zeigen und laden Sie die Datei IkosaederEckenAb.geo wie oben
      Wenn Sie am Zugpunkt ziehen können Sie zwei interessante Fälle unterscheiden. Es fehlen übrigens einige Flächen! Welche Flächen fehlen wo?
      Das war zwar ursprünglich nicht beabsichtigt. Aber so kann man eigene Fehler didaktisch nutzen!

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    IkosaederEckenAb

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    Der Oktokubus
    Ein besonderer Leckerbissen: Ziehen Sie, bis beide Körper den Würfelstumpf umhüllen.
    Wenn Sie das Oktaeder etwas verkleinern, zeigt eine Zwischenlage das beiden Körpern einbeschriebene Ikosaeder
     
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